Question

a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-

1

2

b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；  
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）求出数列{a_n}的通项公式 a_n=2n-1，当n≥2时，求得 

bn

bn-1

=

1

3

 （n≥2），可得 bn=

2

3

(

1

3

)n-1 ．
（2）由 cn= (2n-1)

2

3n

=

4n-2

3n

，可得 S_n=2（

1

3

+

3

32

 +

5

33

+…+

2n-1

3n

），用错位相减法求数列的前n项和S_n．

解答：解：（1）由a₂+a₅=12，a₂•a₅=27，且d＞0，得a₂=3，a₅=9，∴d=

a5-a2

3

=2，a₁=1，∴a_n=2n-1，
在T_n=1-

1

2

b_n，令n=1，得b₁=

2

3

，当n≥2时，T_n=1-

1

2

 b_n 中，令 n=1得 b1=

2

3

，当n≥2时，
T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

bn-1，两式相减得 bn= 

1

2

bn-1-

1

2

bn，

bn

bn-1

=

1

3

 （n≥2），
∴bn=

2

3

(

1

3

)n-1 =

2

3n

  （n∈N₊）．
（2）cn= (2n-1)

2

3n

=

4n-2

3n

，∴S_n=2（

1

3

+

3

32

 +

5

33

+…+

2n-1

3n

），
∴

1

3

S_n=2（

1

32

+

3

33

+…+  

2n-3

3n

+ 

2n-1

3n+1

 ），
 两式相减可解得  S_n=2-

2n+2

3n

．

点评：本题考查由递推关系求通项公式，用错位相减法求数列的前n项和．用错位相减法求数列的前n项和是解题的难点．