Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和T_n=1-

1

2

b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）若C_n=

3nbn

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）①通过解方程x²-12x+27=0的两根，及公差d＞0即可得到a₂，a₅，再利用等差数列的通项公式即可得到a₁与d及a_n；②当n≥2时，T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，两式相减得，b_n=

1

2

b_n-1-

1

2

b_n，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）的结论即可得出cn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂项求和即可．

解答：解：（1）①∵等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d=

a5-a2

3

=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
②∵T_n=1-

1

2

b_n，
∴令n=1，得b₁=

2

3

，
当n≥2时，T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，两式相减得，b_n=

1

2

b_n-1-

1

2

b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2），
数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•

1

3n

（n∈N^*）．
（2）∵bn=2•

1

3n

，C_n=

3nbn

anan+1

，
∴C_n=

3n×2× 1 3n

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．
∴S_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式、通项与其前n项和的关系、裂项求和等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．