Question

（2012•甘肃一模）已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-

1

2

bn．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较

1

bn

与Sn+1的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于数列{a_n}是等差数列，故只需求出首项和公差就可求其通项公式；由数列{b_n}的前n项和为T_n   通过递推然后两式相减可求得b_n．
（2）利用等差数列求和公式得出S_n，S_n+1．以下分别令n=1，2，3，4．比较

1

b n

与S_n+1的大小，再猜想：n≥4时，

1

b n

＞S_n+1．最后利用数学归纳法证明．

解答：解：（1）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

⇒

a1=1 d=2

∴a_n=2n-1
n=1时，b1=T1=1-

1

2

b1
∴b1=

2

3

n≥2时，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
两式相减得 bn=

1

3

bn-1数列是等比数列，
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1
（2）∵S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

b n

=

3n

2

．
以下比较

1

b n

与S_n+1的大小：
当n=1时，

1

b 1

=

3

2

，S₂=4，∴

1

b 1

＜S₂，当n=2时，

1

b 2

=

9

2

，S₃=9，∴

1

b 2

＜S₃，
当n=3时，

1

b 3

=

27

2

，S₄=16，∴

1

b 3

＜S₄，
当n=4时，

1

b 4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b 4

＞S₅．猜想：n≥4时，

1

b n

＞S_n+1．
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N^*，k≥4）时，

1

b k

＞S_k+1，即

3k

2

＞（k+1）²．
那么n=k+1时，

1

b k+1

=

3k+1

2

=3•

3k

2

＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，

1

b n

＞S_n+1也成立．由①②可知n∈N^*，n≥4时，

1

b n

＞S_n+1都成立
综上所述，当n=1，2，3时，

1

b n

＜S_n+1，当n≥4时，

1

b n

＞S_n+1．

点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．