Question

（2008•宝坻区一模）已知等差数列{a_n}，公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列b_n前n项和T_n=1-

1

2

bn．
（1）写出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）由根与系数关系求出等差数列的两项，进一步求出公差，则等差数列的通项公式可求，由通项等于和的差得到关于数列{b_n}的递推式，进一步得到{b_n}是公比为

1

3

，首项为

2

3

的等比数列，则其通项公式可求；
（2）直接把两个数列的通项公式代入后作差运算即可征得答案．

解答：解：（1）∵a₂+a₅=12，a₂a₅=27，又公差大于0，∴等差数列{a_n}的公差d=2．
∴a_n=2n-1，T1=b1=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

．
∵Tn+1-Tn=bn+1=1-

1

2

bn+1-1+

1

2

bn，
∴

3

2

bn+1=

1

2

bn，∴

bn+1

bn

=

1

3

．
∴{b_n}是公比为

1

3

，首项为

2

3

的等比数列．
∴bn=

2

3n

．
（2）∵cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=an+1bn+1=

2(2n+1)

3n+1

.cn+1-cn=2(

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

)=2(

2n+1-6n+3

3n+1

)=8(

1-n

3n+1

)≤0
∴c_n+1≤c_n．

点评：本题考查了等差数列和等不数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了放缩法求证不等式，是中档题．