Question

已知a∈R，函数f(x)＝4x³－2ax＋a．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．

Answer 1

解：由题意得f′(x)＝12x²－2a．

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

当a＞0时，，

此时函数f(x)的单调递增区间为

和．

单调递减区间为．

证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2．

当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2．

设g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，

则g′(x)＝6x²－2＝，

于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	单调递减	极小值	单调递增	1