Question

7．若数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n
（Ⅰ）证明：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，结合等比数列的定义，即可得证，再由等比数列的通项公式即可求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得S_n，再由不等式的性质即可得证．

解答 （Ⅰ）证明：a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n
即有$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
则{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
即有$\frac{{a}_{n}}{n}$=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即a_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（Ⅱ）证明：{a_n}的前n项和为S_n，
即有S_n=1•$\frac{1}{3}$+2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+3•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4•{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{2•{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．
则S_n$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查等比数列的定义的运用，考查数列的通项公式的求法，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，属于中档题．