Question

证明下列各式:

(1)1+2+4+…+2^n-1·+2ⁿ·=3ⁿ;

(2)()²+()²+…+()²=;

(3) +2+3+…+n=n·2^n-1.

Answer 1

(1)证明：在(a+b)ⁿ=·aⁿ+·a^n-1·b+…+·ab^n-1+·bⁿ中，令a=1,b=2,得

(1+2)ⁿ=1+·2+·2²+…+·2ⁿ,

即1+2+4+…+2ⁿ·=3ⁿ.

(2)证明：∵(1+x)ⁿ·(1+x)ⁿ=(1+x)²ⁿ,∴(+·x+…+·x^r+…+·xⁿ)·(+·x+…+·x^r+…+·xⁿ)=(1+x)²ⁿ.

而是(1+x)²ⁿ的展开式中xⁿ项的系数，由多项式的恒等定理，得

·+·+·+…+·=.

又∵=(0≤m≤n),

∴()²+()²+…+()²=.

(3)证法一:令S=+2+…+n,        ①

则S=n+(n-1) +…+2+

=n+(n-1)+…+2+.          ②

由①+②,得2S=n+n+…+n+n

=n(++…+)=n·2ⁿ.

∴S=n·2^n-1,

即+2+…+n=n·2^n-1.

证法二:∵k=k·,

∴+2+…+n=n+…+n=n·2^n-1得证.