Question

在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2AB=2BC=4，P是A₁D₁的中点．
（1）求证：BP∥平面ACD₁；
（2）若M是AC的中点，且B₁M⊥平面ACD₁，求线段BB₁的长．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：PD₁=BC，结合题意可得：PD₁∥BC，PD₁=BC，所以四边形BCD₁P为平行四边形，即可根据线面平行的判定定理可证明线面平行．
（2）连接D₁M，B₁D₁，BM，B₁M，由线面垂直可得B₁M⊥D₁M，所以B₁M²+D₁M²=B₁D₁²．同理可得：B₁B⊥BM．设B₁B=x，则B₁M²=x²+2．在Rt△ABC中，可求得在Rt△B₁A₁D₁中，可得B₁D₁=2

5

，所以x²+2+10+x²=20，即可求出x的值，进而求出答案．

解答：解：（1）证明：因为P为A₁D₁的中点，
所以PD₁=

1

2

A₁D₁=

1

2

AD=BC．
又因为底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，
所以AD∥BC∥A₁D₁，
即PD₁∥BC，PD₁=BC，
所以四边形BCD₁P为平行四边形．
所以BP∥CD₁，
又因为BP不在平面ACD₁内，
所以BP∥平面ACD₁．
（2）连接D₁M，B₁D₁，BM，B₁M，
因为B₁M⊥平面ACD₁，
所以B₁M⊥D₁M，
所以B₁M²+D₁M²=B₁D₁²．
又因为B₁B⊥平面ABCD，
所以B₁B⊥BM．
设B₁B=x，由AB=BC=2可得BM=

2

，则B₁M²=x²+2．
在Rt△ABC中，可求得DM=

10

，
所以D₁M²=10+x²．
在Rt△B₁A₁D₁中，可得B₁D₁=2

5

，
所以x²+2+10+x²=20，
解得x=2．
所以B₁M⊥平面ACD₁时线段BB₁的长为2．

点评：本小题主要考查利用线面平行于垂直的判定定理证明线面垂直与线面平行，并且考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．