Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，1)，由向量法能证明A₁C⊥平面BED．
（2）由

A1E

=(-2，2，-3)，

A1D

=(-2，0，-4)，得到平面A₁DE的法向量

n

=(-4，-1，2)，同理得平面BDE的法向量为

m

=(-1，1，-2)，由向量法能求出二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：（1）如图，以DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，1)，
∵

A1C

•

DB

=-2×2+2×2-4×0=0，

A1C

•

DE

=-2×0+2×2-4×1=0，
∴

A1C

⊥

DB

，

A1C

⊥

DE

，
∴A₁C⊥平面BED
（2）∵

A1E

=(-2，2，-3)，

A1D

=(-2，0，-4)，
设平面A₁DE的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n

•

A1E

=0及

n

•

A1D

=0，
得-2x+2y-3z=0，-2x-4z=0，
取

n

=(-4，-1，2)
同理得平面BDE的法向量为

m

=(-1，1，-2)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

4-1-4

21 • 6

=-

14

42

，
所以二面角A₁-DE-B的余弦值为

14

42

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．