Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要证A₁C⊥平面BED，只需证明A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A₁H，说明∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-DE-B的大小．
法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，证明A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA₁E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A₁-DE-B的大小．

解答：解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA内，连接EF交A₁C于点G，
由于

AA1

FC

=

AC

CE

=2

2

，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A₁H．由三垂线定理知A₁H⊥DE，
故∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角．（8分）
EF=

CF2+CE2

=

3

，CG=

CE×CF

EF

=

2

3

，EG=

CE2-CG2

=

3

3

．

EG

EF

=

1

3

，GH=

1

3

×

EF×FD

DE

=

2

15

．
又A1C=

A A 2 1 +AC2

=2

6

，A1G=A1C-CG=

5 6

3

．tan∠A1HG=

A1G

HG

=5

5

．
所以二面角A₁-DE-B的大小为arctan5

5

．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)．（3分）
（Ⅰ）因为

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，
故A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）设向量

n

=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

DE

，n⊥

DA1

．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，

n

=（4，1，-2）．（9分）＜

n

，

A1C

＞等于二面角A₁-DE-B的平面角，cos＜

n

，

A1C

=＞

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

所以二面角A₁-DE-B的大小为arccos

14

42

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．