Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若存在，使得对恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

（1）先对函数求导，然后根据的正负以及定义域，分类讨论在上的单调性；

（2）对分类：，，，考虑每种情况下所满足的不等式，并通过统一变量构造新函数分析并求解出的最大值.

（1），

，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由，得.

①当时，

时，

函数在上单调递增；

②当时，，

时，为减函数，

时，为增函数；

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，

在上单调递增.

（2）当时，由，得对恒成立.

因为函数在上单调递减，不能使对恒成立；

当时，；

当时，由，

得，

设函数

则

令，可得，

时，为减函数，

时，为增函数.

.

设

，解得

当时，为增函数，

当时，为减函数.

的最大值为.