Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

处取得极值，若m，n∈[

1

4

，1]，则f（m）+f′（n）的最大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：先由函数f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

处取得极值确定a，再分别求f（m），f′（n）的最大值．

解答： 解：f′(x)=

1

x

+2ax，
∵函数f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

处取得极值，
∴f′(

1

2

)=2+a=0，
∴a=-2．
则f（x）=lnx-2x²-4，
f′（x）=

1

x

-4x=

(1+2x)(1-2x)

x

，
则f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，1]上单调递减；
则f(m)max=f(

1

2

)=ln

1

2

-

1

2

-4，
又∵f′（x）在[

1

4

，1]上单调递减，
∴f′(n)max=f′(

1

4

)=4-1=3，
∴f（m）+f′（n） 的最大值为：ln

1

2

-

1

2

-4+3=-ln2-

3

2

．
故答案为-ln2-

3

2

．

点评：本题考查了学生在闭区间内求最值的方法，特别注意的是m，n是无关的．