题目内容
某区组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15～20，20～25，25～30，30～35，35～40，40～45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30～35之间的志愿者共8人．（Ⅰ）求N和20～30之间的志愿者人数N1；
（Ⅱ）已知20～25和30～35之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率是多少？
（Ⅲ）组织者从35～45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的数量为ξ，求ξ的概率和分布列．
【答案】分析：（Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6P4=0.04×5=0.2，由此能求出N和20～30之间的志愿者人数N1．
（Ⅱ）由p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B；从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C因为两组的选择互不影响，由此能求出两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率．
（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3．由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，
P6P4=0.04×5=0.2，
所以
．
由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6=1，
而P2+P3=1-（P1+P4+P5+P6）=1-5（0.01+0.04+0.02+0.01）=0.6，
所以，20～30之间的志愿者人数N1=40×（P2+P3）=40×0.6=24．
（Ⅱ）∵p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人，
设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B，
从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C，
因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，
∴
；
…（7分）
B与C为相互独立事件，同时发生可记做BC，
所以，
．
（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，
从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，
所以
；
；
所以，分布列为
所以，数学期望为
．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．[求ξ的概率和分布列．应该改为：求ξ的概率分布列和数学期望．]
（Ⅱ）由p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B；从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C因为两组的选择互不影响，由此能求出两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率．
（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3．由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为P1，P2，P3，P4，P5，
P6P4=0.04×5=0.2，
所以
．由题意P1+P2+P3+P4+P5+P6=1，
而P2+P3=1-（P1+P4+P5+P6）=1-5（0.01+0.04+0.02+0.01）=0.6，
所以，20～30之间的志愿者人数N1=40×（P2+P3）=40×0.6=24．
（Ⅱ）∵p2=0.3∴20～25之间有40×0.3=12人，
设从20～25之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为B，
从30～35之间取2人担任接待工作，其中至少有1名英语教师的事件为C，
因为两组的选择互不影响，为相互独立事件，
∴
；…（7分）B与C为相互独立事件，同时发生可记做BC，
所以，
．（Ⅲ） 35～45之间共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教师，2名男教师，
从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1，2，3，
所以
；；所以，分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P（ξ=k） |  |  |  |
．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．[求ξ的概率和分布列．应该改为：求ξ的概率分布列和数学期望．]
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名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为
等六个层次,其频率分布直方图如图所示: 已知
之间的志愿者共
人.
之间的志愿者人数
;
和
名英语教师，现从这两个层次各选取
之间的志愿者(其中共有
名女教师，其余全为男教师)中随机选取
名担任后勤保障工作,其中女教师的数量为
,求
