Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点．求证：
（Ⅰ）EF∥平面PCD
（Ⅱ）平面BDP⊥平面ACP．

Answer 1

分析：（I）取PD的中点G，连结EG、CG，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出CF

∥

.

EG，得四边形CFEG为平行四边形，从而EF∥CG，利用线面平行判定定理，即可证出EF∥平面PCD；
（II）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，再菱形ABCD中AC⊥BD，从而得到BD⊥平面ACP，再由面面垂直判定定理，即可证出平面BDP⊥平面ACP．

解答：解：（I）取PD的中点G，连结EG、CG，
∵ABCD是菱形，F为BC的中点，∴CF

∥

.

1

2

AD
∵EG是△PAD的中位线，∴EG

∥

.

1

2

AD，可得CF

∥

.

EG
∴四边形CFEG为平行四边形，可得EF∥CG
∵CG?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD；
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵PA、AC是平面ACP内的相交直线，∴BD⊥平面ACP
∵BD?平面BDP，∴平面BDP⊥平面ACP．

点评：本题在特殊四棱锥中证明线面平行和面面垂直．着重考查了空间线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定定理等知识，属于中档题．