Question

13．已知幂函数f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k，当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． [0，1）
• C． （0，1]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 根据幂函数的定义和性质先求出m，结合集合的关系进行求解．

解答 解：∵f（x）是幂函数，
∴（m-1）²=1，
解得m=2或m=0，
若m=2，则f（x）=x^-2，在（0，+∞）上单调递减，不满足条件．
若m=0，则f（x）=x²，在（0，+∞）上单调递增，满足条件．
即f（x）=x²，
当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A=[1，4），
当x∈[1，2）时，g（x）∈[2-k，4-k），即B=[2-k，4-k），
∵A∪B=A，∴B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{k≥0}\end{array}\right.$，
解得0≤k≤1，
故选：D

点评 本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强．