Question

7．已知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在x∈[0，4]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²-4，由f′（x）=x²-4≥0，能求出函数f（x）的单调增区间．
（2）由f′（x）=x²-4=0，得x₁=-2，x₂=2，分别求出f（0），f（2），f（4），由此能求出函数f（x）在x∈[0，4]的最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
∴f′（x）=x²-4，
由f′（x）=x²-4≥0，得x≥2或x≤-2，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2]，[2，+∞）．
（2）由f′（x）=x²-4=0，得x₁=-2，x₂=2，
∵f（0）=4，f（2）=$\frac{1}{3}×8-4×2+4$=-$\frac{4}{3}$，
f（4）=$\frac{1}{3}×64-4×4+4$=$\frac{28}{3}$．
∴函数f（x）在x∈[0，4]的最小值为f（2）=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查函数的增区间、函数在闭区间上的最值、导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．