Question

F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，直线l与C相交于A，B两点
（1）直线l斜率为1且过点F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，，求a值
（2）若直线l方程为y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，知，所以（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，再由韦达定理能够得到a值．
（2）联立直线l与椭圆方程：，（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，再由韦达定理能够得到a值．
解答：解：（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴⇒（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，
，
由得
解得…（6分）
（2）联立直线l与椭圆方程：⇒（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，
，，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0⇒5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0
代入得，
∴…（12分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和等差数列的合理运用，同时要注意韦达定理的合理运用．