Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线C：x2=4

3

y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=

1

2

•且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得

OM

•

ON

=-2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：

|AB|2

|MN|

为定值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．
（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两张情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论．

解答：（1）解：抛物线C：x2=4

3

y的焦点为(0，

3

)
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线C：x2=4

3

y的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为(0，

3

)，即b=

3

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），∴

OM

•

ON

=(1，

3

2

)•(1， -

3

2

)=1-

9

4

=-

5

4

，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

4k2-12

3+4k2

+k2(

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1)=

-5k2-12

3+4k2

=-2
所以k=±

2

，
故直线l的方程为y=

2

(x-1)或y=-

2

(x-1)（8分）
（3）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 8k2 3+4k2 )2-4( 4k2-12 3+4k2 )]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得：x2=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x3-x4|=4

3(1+k2) 3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=

48(1+k2) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=4为定值  （13分）

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的而运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．