Question

（本大题满分12分）设函数（为自然对数的底数），

（1）当=1时，求过点（1，）处的切线与坐标轴围成的面积；

（2）若在（0，1）恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），面积；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1，（2）；（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：（1）当时,,,,,

函数在点处的切线方程为 ，即

设切线与轴的交点分别为A,B.

令得,令得,∴,

.

在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 5分

（2）由得,

令, 8分

令, ,

∵,∴,在为减函数 ，

∴ , 又∵, ∴

∴在为增函数, , 因此只需 12分

考点：1、求曲线的切线方程；2、三角形的面积；3、恒成立的问题.