题目内容

△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cosB+cosC）=b+c．
（1）求证：A=
π
2
；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•
a2+c2-b2
2ac
+a•
a2+b2-c2
2ab
=b+c．
∴整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0．
∵b+c＞0，∴a2=b2+c2．故A=
π
2
．
（2）∵△ABC外接圆半径为1，A=
π
2
，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2
2
sin（B+
π
4
）．
∵0＜B＜
π
2
，∴
π
4
＜B+
π
4
＜
3π
4
，∴2＜b+c≤2
2
．
∴4＜a+b+c≤2+2
2
，
故△ABC周长的取值范围是（4，2+2
2
]．
练习册系列答案
相关题目
（2012•丰台区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
，求f（A）的取值范围．
（2012•德州一模）已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
5π
12
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，面积S△ABC=3，求边长a的值．
（2012•卢湾区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．
（2012•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若A=
π4
，a=2，求△ABC的面积．
在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面积为
3
3
2
，3ac=25-b2，求a，c的值．

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