题目内容
（2012•卢湾区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．
分析：由a=2bcosC及正弦定理，得sinA=2sinB cosC，展开整理得sin（B-C）=0，可得b=c．由b+c=3a，求得cosC=
=
，再求得sinC，由sinA=sin（π-2C）=2sinCcosC 求得结果．
| a |
| 2b |
| 1 |
| 3 |
解答：解：由a=2bcosC及正弦定理，得 sinA=2sinB cosC，又 A=π-B-C，
可化为sin（B+C）=2sinB cosC，展开整理得sin（B-C）=0，（4分）
在三角形中得B-C=0，即B=C，可得b=c．（6分）
于是由b+c=3a，得2b=3a，因此 cosC=
=
，（8分）
可得sinC=
，（10分）
故sinA=sin（π-2C）=2sinCcosC=
．（12分）
可化为sin（B+C）=2sinB cosC，展开整理得sin（B-C）=0，（4分）
在三角形中得B-C=0，即B=C，可得b=c．（6分）
于是由b+c=3a，得2b=3a，因此 cosC=
| a |
| 2b |
| 1 |
| 3 |
可得sinC=
2
| ||
| 3 |
故sinA=sin（π-2C）=2sinCcosC=
4
| ||
| 9 |
点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．
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