题目内容

(2012•石景山区一模)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且(2a-c)cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若A=
π4
,a=2
,求△ABC的面积.
分析:(Ⅰ)由正弦定理可得 2sinAcosB=sinA,故可得 cosB=
1
2
,又0<B<π,可得B=
π
3

(Ⅱ)由正弦定理 求得 b=
3
2
2
2
=
6
,由三角形内角和公式求得 C=
12
,可得sinC 的值,由此求得S=
1
2
ab•sinC
的值.
解答:解:(Ⅰ)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理,得
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.                     …(2分)
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,…(4分)
∵A∈(0,π),∴sinA≠0.
∴cosB=
1
2
.     又∵0<B<π,∴B=
π
3
.      …(6分)
(Ⅱ)由正弦定理
a
sinA
 = 
b
sinB
,得 b=
3
2
2
2
=
6
.         …(8分)
∵A=
π
4
,B=
π
3
,∴C=
12
,∴sinC=sin 
12
=sin(
π
6
+
π
4
)=sin
π
6
cos 
π
4
+cos 
π
4
sin
π
6
=
6
+
2
4
.     …(11分)
∴S=
1
2
ab•sinC
=
1
2
×2×
6
×
6
+
2
4
=
3+
3
2
.    …(13分)
点评:解三角形是高考的重要组成部分,不在客观题考查,就在解答题中出现,但一般难度不大.解三角形所涉及的知识点要掌握,如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,属于中档题.
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