Question

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在区间（-∞，0]和[10，+∞）上递增
由f′（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有；
（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为．
下证，函数f（x）图象关于此点对称．
设f（x）的定义域为D，?∈D，有：
所以，函数y=f（x）的图象关于点对称．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的定义域，由f′（x）＞0得函数的增区间，由f′（x）＜0得函数的减区间，从而可确定函数的极值；
（Ⅱ）f（x）图象上取得极值的两点的中点为．再证明函数f（x）图象关于此点对称．
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的中心对称，正确求导，利用函数的定义域是关键．