题目内容

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
分析：（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式asinα+bcosα=
a2+b2
sin(α+β)，化简|
a
+
b
|2，利用三角函数的有界性求出范围．
解答：解：（1）因为
a
⊥
b
，所以sinθ+
3
cosθ=0
得tanθ=-
3

又θ∈(-
π
2
，
π
2
)，
所以θ=-
π
3

（2）因为|
a
+
b
|2=(sinθ+1)2+(cosθ+
3
)2
=5+4sin(θ+
π
3
)
所以当θ=
π
6
时，|
a
+
b
|2的最大值为5+4=9
故|
a
+
b
|的最大值为3
点评：本题考查向量垂直的充要条件|数量积等于0；向量模的平方等于向量的平方；三角函数的同角三角函数的公式；asinα+bcosα=
a2+b2
sin(α+β)
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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