Question

15．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=DA，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）M为线段BC的中点，求证AF⊥平面PDM．

Answer 1

分析 （1）连结AC，则AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明PC⊥BD．
（2）取PC的中点K，连结FK，EK，推导出四边形AEKF是平行四边形，由此能证明AF∥平面PEC．
（3）推导出AF⊥PD，DM⊥BC，从而DM⊥AD，又PA⊥DM，从而DM⊥AF，由此能证明AF⊥平面PDM．

解答 证明：（1）连结AC，则AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC与PA相交于点A，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）取PC的中点K，连结FK，EK，
∵E、F分别是AB、PD的中点，∴PK$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
∴PK$\underset{∥}{=}$AE，∴四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，
∵EK?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（3）∵PA=DA，F是PD的中点，∴AF⊥PD，
∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△BCD为等边三角形，又M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又AD∥BC，∴DM⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DM，又PA∩AD=A，
∴DM⊥平面PAD，
又AF?平面PAD，∴DM⊥AF，
又PD∩DM=D，∴AF⊥平面PDM．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．