Question

设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

 

Answer 1

（1）y＝x2－1 （2）见解析

【解析】(1)设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A(，0)，B(，0)．

设P(x，y)，由，得①

因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，

即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得

y＝x2－1．

∴点P的轨迹方程为y＝x2－1．

(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．

联立方程

消去y，得x2－kx－b＝0．

所以m＋n＝k，mn＝－b．②

点P到直线MN的距离

d＝，

|MN|＝|m－n|，

∴S△MNP＝d·|MN|

＝|k()－mn＋b|·|m－n|

＝·(m－n)2·|m－n|＝2．

即△MNP的面积为定值2．