Question

下图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形．这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律．按图（1）、（2）、（3）、（4）四个三角形的规律继续构建三角形，设第n个三角形中包含f（n）个未着色三角形．

（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）写出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并由此求出f（n）的表达式；
（Ⅲ）设an=

2f(n+1)+1

f(n+1)•f(n+2)

(n∈N*)，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：

3

4

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图知f（1）=0，f（2）=1，f（3）=4，f（4）=13，从而可得f（5）的值；
（Ⅱ）方法1：由f（2）-f（1）=1，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=9，f（5）-f（4）=27，归纳得：f（n+1）-f（n）=3^n-1（n∈N^*），利用叠加法，可求f（n）的表达式；
方法2：f（2）=3f（1）+1，f（3）=3f（2）+1，f（4）=3f（3）+1，f（5）=3f（4）+1，归纳得：f（n+1）=3f（n）+1（n∈N^*），从而可证数列{f(n)+

1

2

}是首项为

1

2

，公比为3的等比数列，即可求f（n）的表达式；
（Ⅲ）由an=

2f(n+1)+1

f(n+1)•f(n+2)

(n∈N*)，得an=

4•3n

(3n-1)(3n+1-1)

=2(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)，进而可求数列{a_n}的前n项和为S_n，由此可证结论成立．

解答：解：（Ⅰ）由图知f（1）=0，f（2）=1，f（3）=1+3=4，f（4）=1+3+9=13，f（5）=1+3+9+27=40
（Ⅱ）方法1：由f（2）-f（1）=1，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=9，f（5）-f（4）=27
归纳得：f（n+1）-f（n）=3^n-1（n∈N^*）∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]=0+1+3+9+…+3n-2=

3n-1-1

3-1

，f(n)=

3n-1-1

2

(n∈N*)
方法2：f（2）=3f（1）+1，f（3）=3f（2）+1，f（4）=3f（3）+1，f（5）=3f（4）+1
归纳得：f（n+1）=3f（n）+1（n∈N^*）
由f（n+1）=3f（n）+1，可得f(n+1)+

1

2

=3[f(n)+

1

2

]
∴数列{f(n)+

1

2

}是首项为

1

2

，公比为3的等比数列
∴f(n)+

1

2

=

1

2

•3n-1，即f(n)=

3n-1-1

2

(n∈N*)
（Ⅲ）由an=

2f(n+1)+1

f(n+1)•f(n+2)

(n∈N*)，得an=

4•3n

(3n-1)(3n+1-1)

=2(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)
∴Sn=2[(

1

31-1

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)]=1-

2

3n+1-1

(n∈N*)．
∵3ⁿ⁺¹≥9，∴0＜

2

3n+1+1

≤

1

4

，
∴

3

4

≤Sn=1-

2

3n+1+1

＜1．

点评：本题考查归纳推理，考查数列通项的求解，考查数列的求和，考查学生阅读分析的能力，综合性强．