Question

10．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{ab}}{2}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$
• B． ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$
• C． ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²
• D． （$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 选项A取反例可得，选项BC由基本不等式可得，选项D作差法可得．

解答 解：选项A，取a=b=2，可得$\frac{\sqrt{ab}}{2}$=1，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1，不满足$\frac{\sqrt{ab}}{2}$＜$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，故错误；
选项B，由基本不等式可得2ab≤a²+b²，变形可得ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，当且仅当a=b时取等号，故正确；
选项C，由基本不等式可得$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，平方可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，当且仅当a=b时取等号，故正确；
选项D，作差可得（$\frac{a+b}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{-{a}^{2}-{b}^{2}+2ab}{4}$=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≤0，当且仅当a=b时取等号，故正确．
故选：A

点评 本题考查不等式比较大小，涉及基本不等式和作差法，属基础题．