Question

【题目】已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；

（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|．

Answer 1

【答案】（1）；（2）-；（3）见解析

【解析】

（1）解：设F2，M的坐标分别为,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C的方程为；（2）设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，再求出和的值，即得的值；（3）由题意，即证：OA⊥OB，分y0≠0和y0=0两种情况证明，原题即得证.

（1）解：设F2，M的坐标分别为

因为点M在双曲线C上，所以，即，所以

在Rt△MF2F1中，，，所以

由双曲线的定义可知：

故双曲线C的方程为：

（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为

设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则

则点P到两条渐近线的距离分别为

因为P（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又，

所以=cos（π-θ）=-=-

（3）证明：由题意，即证：OA⊥OB．

设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2

①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：

所以：，

又

所以

②当y0=0时，易知上述结论也成立．所以

综上，OA⊥OB，所以．