Question

函数f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在区间[0，

π

2

]上的值域为（　　）

• A、[

  1

  2

  ，

  1

  2

  e

  π

  2

  ]
• B、（

  1

  2

  ，

  1

  2

  e

  π

  2

  ）
• C、[1，e

  π

  2

  ]
• D、（1，e

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：计算f′（x）=e^xcosx，当0≤x≤

π

2

时，f′（x）≥0，f（x）是[0，

π

2

]上的增函数．分别计算f（0），f（

π

2

）．

解答：解：f′（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）+

1

2

e^x（cosx-sinx）=e^xcosx，
当0≤x≤

π

2

时，f′（x）≥0，
∴f（x）是[0，

π

2

]上的增函数．
∴f（x）的最大值在x=

π

2

处取得，f（

π

2

）=

1

2

e

π

2

，
f（x）的最小值在x=0处取得，f（0）=

1

2

．
∴函数值域为[

1

2

，

1

2

e

π

2

]
故选A．

点评：考查导数的运算，求函数的导数，得到函数在已知区间上的单调性，并计算最值．