Question

设x=1是函数f（x）=

x+b

x+1

e-ax的一个极值点（a＞0，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为

1

2

e-a，且m≥0．试求实数m与a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）=0⇒b=

1-2a

2a+1

，于是f′（x）=

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax，令f′（x）=0，列表分析即可求得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分当m≥1与0≤m＜讨论，利用f（x）在相应区间上的单调性求其最小值（若有），即可求得实数m与a的值．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）
f′（x）=

-[ax2+(ab+a)x+ab+b-1]

(x+1)2．

e-ax，
由已知得f′（1）=0，
∴a+（ab+a）+ab+b-1=0，
∴b=

1-2a

2a+1

．
∴f′（x）=

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax，
令f′（x）=0，
得x₁=1，x₂=-

2a+3

2a+1

，
∵a＞0，
∴x₂＜-1．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，x2）	（x2，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	+	-
f（x）	减函数	增函数	增函数	减函数

从上表可知：f（x）在区间（-∞，-

2a+3

2a+1

）和（1，+∞）上是减函数；
在区间（-

2a+3

2a+1

，-1）和（-1，1）上是增函数．
（2）①当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是减函数．
又x≥1时，f（x）=

x+b

x+1

e-ax=

x-1+ 2 2a+1

x+1

e-ax＞0，
其最小值不可能为0，故此时的a，m也不存在．
②当0≤m＜时，m+1∈[1，2），f（x）在（m，1]上是增函数，在[1，m+1]上是减函数，
则最大值为f（1）=

1+b

2

e^-a=

1

2

e^-a，故b=0，a=

1

2

．
又f（m+1）＞0，f（x）最小值为f（m）=0，
∴m=-b=0，
综上可知：m=0，a=

1

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查综合分析与运算能力，属于难题．