题目内容
已知函数f（x）=kx，g(x)=
（1）求函数g(x)=
的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：
+
+…+
＜
．
| lnx |
| x |
（1）求函数g(x)=
| lnx |
| x |
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
分析：（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．
（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为
，得到 k≥
．
（3）先判断
＜
•
（x≥2），得
+
+
+…+
＜
(
+
+…+
)，
用放缩法证明
+
+…+
＜1，即得要证的不等式．
（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 2e |
（3）先判断
| lnx |
| x4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| x2 |
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| ln4 |
| x4 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
用放缩法证明
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
解答：解：（1）∵g(x)=
（x＞0），∴g′(x)=
，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数g(x)=
的单调递增区间为（0，e）．
（2）由kx≥
，得k≥
，令h(x)=
，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．
又h′(x)=
，令h′(x)=0时，x=
．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：
由表知当x=
时，函数h（x）有最大值，且最大值为
，因此k≥
．
（3）由
≤
，∴
＜
•
（x≥2），
∴
+
+
+…+
＜
(
+
+…+
)．
又∵
+
+…+
＜
+
+…+
=
1-
+
-
+
-
+…+
-
=1-
＜1，
∴
+
+
+…+
＜
．
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
故函数g(x)=
| lnx |
| x |
（2）由kx≥
| lnx |
| x |
| lnx |
| x2 |
| lnx |
| x2 |
又h′(x)=
| 1-2lnx |
| x3 |
| e |
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：
| x | （0，
|
|
（
| ||||||
| h'（x） | + | 0 | - | ||||||
| h（x） | ↗ |
|
↘ |
| e |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 2e |
（3）由
| lnx |
| x2 |
| 1 |
| 2e |
| lnx |
| x4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| x2 |
∴
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| ln4 |
| x4 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
又∵
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| (n-1)n |
1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
∴
| ln2 |
| 24 |
| ln3 |
| 34 |
| ln4 |
| x4 |
| lnn |
| n4 |
| 1 |
| 2e |
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数极值，用放缩法证明不等式，放缩不等式是解题的难点．
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