题目内容
已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是
[
，+∞)
| 1 |
| 2e |
[
，+∞)
．| 1 |
| 2e |
分析：求导函数，利用函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，可得f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．
解答：解：求导函数可得：f′（x）=2ax-lnx
∵函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥
令g（x）=
（x＞0），则g′(x)=
令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴x=e时，函数取得最大值
∴2a≥
∴a≥
故答案为：[
，+∞)．
∵函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥
| lnx |
| x |
令g（x）=
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴x=e时，函数取得最大值
| 1 |
| e |
∴2a≥
| 1 |
| e |
∴a≥
| 1 |
| 2e |
故答案为：[
| 1 |
| 2e |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，解题的关键是正确运用导数求函数的单调性，利用分离参数法解决恒成立问题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|