已知F1.F2为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-y2=1的左右焦点.点Pi(xi.0)与Pi′(xi′.0)满足$\overrightarrow{{F} {1}{P} {i}}$+$\overrightarrow{{F} {2}{P} {i}′}$=$\overrightarrow{0}$.且xi＜-4.过Pi做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Qi点.过Pi′做x轴的垂线交双曲线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-y²=1的左右焦点，点P_i（x_i，0）与P_i′（x_i′，0）（i=1，2，3，…，10）满足$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{i}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{i}′}$=$\overrightarrow{0}$，且x_i＜-4，过P_i做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q_i点，过P_i′做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q_i′点，若|F₁Q₁|+|F₁Q₂|+…+|F₁Q₁₀|=m，则|F₁Q₁′|+|F₁Q₂′|+…+|F₁Q₁₀′|=80+m．

分析求得双曲线的a，b，c，离心率e，左准线方程，由向量共线的坐标表示，可得x_i′=-x_i，运用双曲线的第二定义，可得，|F₁Q_i|=ed_i=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（-$\frac{16}{\sqrt{17}}$-x_i）=-4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，同理可得，|F₁Q_i′|=4+$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i=4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，再由已知条件，化简整理，计算即可得到所求值．

解答解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-y²=1的a=4，b=1，c=$\sqrt{17}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，左准线方程为x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-$\frac{16}{\sqrt{17}}$，
由$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{i}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{i}′}$=$\overrightarrow{0}$，可得：
x_i+c+x_i′-c=0，即有x_i′=-x_i，
由双曲线的第二定义可得，|F₁Q_i|=ed_i=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（-$\frac{16}{\sqrt{17}}$-x_i）
=-4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，
同理可得，|F₁Q_i′|=ed_i′=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x_i′+$\frac{16}{\sqrt{17}}$）
=4+$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i=4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，
由|F₁Q₁|+|F₁Q₂|+…+|F₁Q₁₀|=m，
可得-40-$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）=m，
即$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）=m+40，
则|F₁Q₁′|+|F₁Q₂′|+…+|F₁Q₁₀′|=40-$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）
=40+m+40=80+m．
故答案为：80+m．