Question

4．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线x²=y-1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 5
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 可设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，由题意可得x²-$\frac{b}{a}$x+1=0有两个相等的实数解，运用判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：可设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
由渐近线与抛物线x²=y-1只有一个公共点，
可得x²-$\frac{b}{a}$x+1=0有两个相等的实数解，
即有△=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4=0，
即b=2a，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线与抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．