题目内容

设函数f(x)=
a3
x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4
（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．
分析：（1）由题意可得1，4是y′=0的两根，从而可得a，b，c间的关系，把a=-2代入关系式及过原点可求得a，b，c值；
（2）f（x）在（-∞，+∞）内无极值说明函数f（x）在（-∞，+∞）上单调及a＞0可得f′（x）≥0恒成立，由此可得一不等式，解出即可．
解答：解：f′（x）=ax2+2bx+c，
由题意可得：1，4 是方程ax2+2bx+c-9=0的两根，
所以b=-
5
2
a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-
2
3
x3+5x2+x．
（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，
所以f′（x）ax2+2bx+c≥0恒成立，
则4b2-4ac≤0，即25a2-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范围为（0，4]．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，可导函数f（x）在某点处取得极值，须满足①在该点处导数为0；②在该点左右两侧导数异号．
练习册系列答案
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设函数f(x，y)=(1+
m
y
)x(m＞0，y＞0)．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f(4，y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32，求
4
i=0
ai．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3的值；
（II）设a2=2，求证：数列{bn}为等比数列；
（III）求证：
1
2
≤an＜1．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3，a4的值；
（II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．
（2013•自贡一模）设函数f(x)=x-ln(x+
1+x2
)．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令an=
1
9
(
1
2
)6n+ln[(
1
2
)2n+
1+(
1
2
)4n
](n∈N*)，试证明：a1+a2+a3+…+an＜
1
3
．
设函数f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
1
m
+
1
t
=1，求证：tlo
g
 
2
m+mlo
g
 
2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求证：
lo
g
 
2
a1
a1
+
lo
g
 
2
a2
a2
+
lo
g
 
2
a3
a3
+…+
lo
g
 
2
a2n
a2n
≤n．

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