Question

已知圆C：x²＋(y－2)²＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

 (1)证明：法一：直线系l：mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x²＋(y－2)²＝5内部，所以对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．--------3分

法二：直线方程与圆的方程联立，消去y得(m²＋1)x²－2mx－4＝0，

∵Δ＝4m²＋16(m²＋1)＝20m²＋16>0，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．

法三：圆心到直线的距离d＝＝≤1<，所以对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．

(2)解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，

由方程(m²＋1)x²－2mx－4＝0，得x₁＋x₂＝，-

∴x＝，由mx－y＋1＝0，得m＝，

代入x＝，得x[()²＋1]＝，

化简得x²＋(y－)²＝.     -