Question

曲线x²+y²+6x-8y+1=0，若直线4ax-3by+6=0（a、b∈R）始终平分此曲线的周长，则ab的取值范围是

（-∞，

1

16

）

．

Answer 1

分析：观察曲线方程发现此曲线为一个圆，化为标准方程找出圆心坐标，由直线始终平方圆的周长，得到直线恒过圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程得到a+b的值，若a与b都大于0，根据基本不等式即可求出ab的范围；若a与b不同时大于0，不需满足此条件，因为题意为始终成立，从而ab必须满足此范围，综上，得到ab的取值范围．

解答：解：把曲线x²+y²+6x-8y+1=0化为标准方程得：（x+3）²+（y-4）²=24，
得到曲线为圆心（-3，4）的圆，
由题意可知直线过圆心，则把圆心坐标代入直线方程得：
-12a-12b+6=0，解得：a+b=

1

2

，
若a＞0，b＞0时，a+b＞2

ab

，则ab＜

(a+b)2

4

=

1

16

；
若a和b不同时大于0，ab可不须满足此条件，
综上，ab的取值范围是（-∞，

1

16

）．
故答案为：（-∞，

1

16

）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，用到的知识有基本不等式，圆的标准方程，其中判断出曲线方程为圆，根据题意得出已知直线恒过圆心坐标是解本题的关键．