Question

设a∈Z，且0≤a＜13，若51²⁰¹²+a能被13整除，则a=

12

．

Answer 1

分析：由于51²⁰¹²+a=（52-1）²⁰¹²+a，按二项式定理展开，根据题意可得得

C

2012 2012

•(-1)2012+a 能被13整除，再由0≤a＜13，可得 a=12．

解答：解：由于51²⁰¹²+a=（52-1）²⁰¹²+a
=

C

0 2012

•522012+

C

1 2012

•522011•(-1)1+

C

2 2012

•522010•(-1)2+

C

3 2012

•522009•(-1)3+…+

C

2011 2012

•521•(-1)2011+

C

2012 2012

•(-1)2012+a，
除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，
故由题意可得

C

2012 2012

•(-1)2012+a 能被13整除，再由0≤a＜13，可得 a=12，
故答案为12．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．