Question

定义在R上的函数f（x） 满足f(x+

3

2

)+f(x)=0 且y=f(x-

3

4

) 为奇函数．
给出下列命题：
（1）函数f（x） 的最小正周期为

3

2

；
（2）函数y=f（x） 的图象关于点(

3

4

 ， 0) 对称；
（3）函数y=f（x） 的图象关于y 轴对称．其中真命题有

 

．（填序号）

Answer 1

分析：本题可先由恒等式 f(x+

3

2

)=-f(x)得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数 y=f(x-

3

4

)是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．

解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件 f(x+

3

2

)=-f(x)，
故有 f(x+

3

2

)=-f(x)=f(x-

3

2

)恒成立，故函数周期是3，
故（1）错；
又函数 y=f(x-

3

4

)是奇函数，
故函数y=f（x）的图象关于点 (

3

4

，0)对称，
由此知（2）（3）是正确的选项，
故答案为：（2）（3）

点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．