Question

已知抛物线y²=2x，定点A的坐标为（，0）．
（1）求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设B（a，0），求抛物线上的点到点B的距离的最小值d．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，进而根据勾股定理可得|PA|²=²+y²利用x的范围求得|PA|的范围
（2）依题意可得）|PB|²=（x-a）²+y²=分析当当a-1≥0和a-1＜0时|PB|的最小值，进而可求得d．
解答：解：（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，
|PA|²=²+y²=²+2x=²+，
∵x∈[0，+∞），∴x=0时，|PA|_min=，
此时P（0，0）．
（2）|PB|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）．
①当a-1≥0，即a≥1时，
在x=a-1时，|PB|_min²=2a-1；
②当a-1＜0，即a＜1时，在x=0时，
|PB|_min²=a²，故d=．
点评：本题主要考查抛物线的应用．综合了函数的定义域和值域的问题．