Question

2．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y+2≥0\\ x-y-2≤0\\ 3x+2y-6≤0\end{array}\right.$，则x²+y²+10x+6y+34的最小值是10．

Answer 1

分析 思想画出可行域，将代数式配方发现其几何意义是动点（x，y）与定点（-5，-3）的距离的平方．由此求得最小值．

解答 解：画出可行域（如图）．x²+y²+10x+6y+34=（x+5）²+（y+3）²，
这表示动点（x，y）与定点（-5，-3）的距离的平方．
由图知，只有C点可能与M（-5，-3）的距离最短．
于是联立$\left\{\begin{array}{l}3x-y+2=0\\ x-y-2=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}\right.$，
所以C（-2，-4）．
而$|{CM}|=\sqrt{{{（-5+2）}^2}+{{（-3+4）}^2}}=\sqrt{10}$，$d=\frac{{|{-5×3+（-3）×（-1）+2}|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（-1）}^2}}}}=\sqrt{10}$．
故x²+y²+10x+6y+34的最小值是10．

点评 本题看错了简单线性规划问题来之前画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是关键．