题目内容

若曲线f（x）=ax2+lnx上存在垂直y轴的切线，则实数a的取值范围是（　　）
分析：由曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，解出a的取值范围即可．
解答：解：∵曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）
∴f′(x)=2ax+
1
x
=0有解，得a=-
1
2x2
，
∵x＞0，∴a=-
1
2x2
＜0，
∴实数a的取值范围是a＜0．
故选A．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
43
x3+ax-1(a∈R)，其中f'（x）是f（x）的导函数，若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0平行，则a=
 
．
若曲线f（x）=x•sinx+1在x=
π
2
处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（　　）
A、-2B、-1C、1D、2
已知函数f（x）=
x+ax+1
，g（x）=（1-a）ex
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．
若曲线f（x）=x•sinx+1在x=
π2
处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于
2
2
．
（2012•威海一模）已知函数f（x）=
1
2
x2-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞1成立．

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