Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，k₁k₂≠0，若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2

• B．

  5

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用|k₁|+|k₂|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．

解答：解：由题意，可设点M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．
∴

p2

a2

-

q2

b2

=1，且

s2

a2

-

t2

b2

=1．
两式相减得

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

．
再由斜率公式得：k₁k₂=

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

．
∵|k₁|+|k₂|≥

2b

a

根据|k₁|+|k₂|的最小值为1，可知

2b

a

=1
∴e=

c

a

=

5

2

故选B．

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值．