Question

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 当时， 的单调递增区间为，无减区间，

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.

【解析】试题分析：

(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当时， 的单调递增区间为，无减区间，

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为;

(2)将原问题转化为在上恒成立，考查函数的性质可得整数的最小值是2.

试题解析：

(1) ，函数的定义域为.

当时， ，则在上单调递增，

当时，令，则或 (舍负)，

当时， ， 为增函数，

当时， ， 为减函数，

∴当时， 的单调递增区间为，无减区间，

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)解法一：由得，

∵，

∴原命题等价于在上恒成立，

令，

则，

令，则在上单调递增，

由， ，

∴存在唯一，使， .

∴当时， ， 为增函数，

当时， ， 为减函数，

∴时， ，

∴，

又，则，

由，所以.

故整数的最小值为2.

解法二： 得，

，

令，

，

①时， ， 在上单调递减，

∵，∴该情况不成立.

②时，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

∴，

恒成立，

即.

令，显然为单调递减函数.

由，且， ，

∴当时，恒有成立，

故整数的最小值为2.

综合①②可得，整数的最小值为2.