Question

【题目】已知函数 (是自然对数的底数)， .

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为；单调递减区间为. （Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（2）求导数，利用导数的正负，求的单调区间；
（3）， ．由，确定当时， ．当时， ，即可证明结论．

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为,

由，得，∴点A的坐标为.

，所以，

所以曲线在点A处的切线方程为

（Ⅱ），所以

令得，因此当时， 单调递增；

当时， 单调递减.

所以的单调递增区间为；单调递减区间为.

（Ⅲ）证明：因为，所以， 等价于在时恒成立,

由（Ⅱ）知,当时， 的最大值，

故，

因为时，

所以，

因此任意， .