Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y=x-1；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，求出切点坐标，然后求出，从而求出的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使在定义域（0，+∞）内是增函数，只需在（0，+∞）内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围．

试题解析：

（1）当a=1时，函数， ∴f（1）=1-1-ln1=0.，

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1-1=1．

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1， 即y=x-1．

（2）．

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

即：ax2-x+a≥0得：恒成立．

由于， ∴， ∴

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是．

（3）∵在[1，e]上是减函数

∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）=令h（x）=ax2-x+a

当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1

又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1

解得a≥ ∴实数a的取值范围是[，+∞）