Question

2．如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（1）求证；平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求几何体A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥平面CDE得AE⊥CD，又CD⊥AD，故CD⊥平面ADE，于是平面ABCD⊥平面ADE；
（2）由AE⊥平面CDE得AE⊥DE，利用勾股定理计算DE，求出S_△ADE，由CD⊥平面ADE，CD∥AB可知AB⊥平面ADE，故V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AB．

解答 证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，又AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（2）∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥DE，∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CD⊥平面ADE，CD∥AB，
∴AB⊥平面ADE，
∴V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AB=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．