Question

【题目】对于在区间上有意义的函数，满足对任意的，，有恒成立，厄称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的，现有函数.

（1）若函数在区间（）上是“友好”的，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）先化简不等式恒成立为对应最值问题：再根据函数单调性确定最值，代入分离化简得，最后利用基本不等式求最值，得实数的取值范围；（2）化简方程为一元二次方程，并分解因式得，讨论根的情况并代入定义域进行验证，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意可得在上单调递减，

故，

∴

即，∴

令（），则，则

当或时，，∴.

又对于任意的，，故

综上，的取值范围是

（2），即，且①

∴，即②

当时，方程②的解为，代入①，成立

当时，方程②的解为，代入①，不成立.

当且时，方程②的解为或

将代入①，则且，

∴且，

将代入①，则，且

所以且

则要使方程有且仅有一个解，则，

综上，若方程的解集中有且仅有一个元素，则的取值范围为.