题目内容
设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知| a |
| sinA |
| b | ||
|
（1）求角B；
（2）若A是△ABC的最大内角，求cos(B+C)+
| 3 |
分析：（1）在△ABC中，由正弦定理求得a和b的关系式，与题设等式联立求得sinB=
cosB，进而求得tanB的值，则B的值可求．
（2）利用诱导公式把cos（B+C）转化成-cosA，然后利用两角和公式整理，利用正弦函数的性质和A的范围求得原式的最大和最小值．
| 3 |
（2）利用诱导公式把cos（B+C）转化成-cosA，然后利用两角和公式整理，利用正弦函数的性质和A的范围求得原式的最大和最小值．
解答：解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得
=
，
又因为
=
，所以sinB=
cosB，
所以tanB=
，又因为0＜B＜π，所以B=
．
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
所以cos(B+C)+
sinA=
sinA-cosA=2sin(A-
)，
由题意，得
≤A＜
，
≤A-
＜
，
所以sin（A-
）∈[
，1)，即2sin（A-
）∈[1，2），
所以cos(B+C)+
sinA的取值范围[1，2）．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
又因为
| a |
| sinA |
| b | ||
|
| 3 |
所以tanB=
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
所以cos(B+C)+
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由题意，得
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
所以sin（A-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
所以cos(B+C)+
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，正弦定理的运用和两角和公式的化简求值．要求学生对三角函数的基本性质如单调性，值域，对称性等知识熟练掌握．
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